Growth and Form
In de linguïstiek de klasse van zinnen van een taal (en
hun structuur) definieert door middel van een grammatica die een
generatie-proces beschrijft. (Zie het hoofdstuk over tekst.)
Om visuele structuren te karakteriseren door middel van hun generatieproces
is aantrekkelijk, omdat we bij het waarnemen van een visuele vorm
ons vaak impliciet een een generatieproces voorstellen. Zo heeft
Michael
Leyton in zijn boek "Symmetry, Causality, Mind"
een theorie uitgewerkt die visuele vormen beschrijft in termen
van deformatie-processen (indeuken, uitrekken, e.d.). Cf.
ook: Benjamin
Kimia: Shapes as "shock-graphs".
Biologie
Aan organische vormen kun je vaak zien hoe ze gegroeid zijn.
I have called this book a
study of Growth and Form, because in the most familiar
illustrations of organic form (. . .) these two factors are inseparably
associated, and because we are here justified in thinking of form
as the direct resultant and consequence of growth (. . .) whose
varying rate in one direction or another has produced (. . .)
the final configuration of the whole material structure.
D'Arcy Wentworth Thompson: On
Growth and Form, 1917. [Cited from the second edition: (Cambridge:
Cambridge Universiy Press, 1942), Vol. 1, p. 57.]
Cf. Susanne Langer: Mind: An Essay on Human Feeling, Vol. I.
Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1967, p. 152.
Andere klassieke werken in de biologische morfologie:
Ernst Haeckel: Monograph
of the Challenger Radiolaria. (1887)
Ernst Haeckel: Art
Forms in Nature. (1904)
Groeiprocessen in lijnpatronen: Lindenmayer-systemen
(. . .) not only the leaves
repeat each other, but the leaves repeat the flowers, and the
very stems and branches are like un-unfolded leaves. (. . .)
To the pattren of the flower there corresponds a further pattern
developed in the placing and grouping of the flowers along the
branches, and the branches themselves divide and stand out in
balanced proportions, under the controlling vital impulse (.
. .) Musical expression follows the same law.
Basil de Selincourt: "Music
and Duration." Music and Letters, 1 (1920), p.
288.
[@ Susanne Langer: Mind: An Essay on Human Feeling, Vol. I.
Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1967, p. 138.]
Een mathematische benadering van plantengroeiprocessen is uitgewerkt
door Aristid Lindenmayer in de jaren 1968 – 1990. Deze z.g.
"Lindenmayer-systemen" (of kortweg "L-systems")
zullen we bespreken aan de hand van een gedeelte van het eerste
hoofdstuk van het boek "The Algorithmic Beauty of Plants"
van Przemyslaw Prusinkiewicz en Aristid Lindenmayer (New York:
Spinger-Verlag, 1990).
Demonstraties doen we aan de hand van het hoofdstuk "L-Systems
and Fractal Growth" uit het boek The
Computational Beauty of Nature van Gary W. Flake (Cambridge,
Mass.: MIT Press, 1998), gebruik makend van de bij dit boek behorende
on-line applets. [Kies "L-Systems" in het menu rechtsboven
op de Java-Applets
pagina.]
Lindenmayer-systemen lijken erg op de Contextvrije
Grammatica's die besproken worden in het
tekst-hoofdstuk.
Maar het formalisme werkt in twee opzichten anders: (1) het verschil
tussen terminale symbolen en non-terminale symbolen wordt afgeschaft:
alle toegestane symbolen kunnen herschreven worden en
alle
toegestane symbolen kunnen optreden in de output-expressies; (2)
bij elke herschrijfstap worden
alle mogelijke herschrijvingen
tegelijk toegepast.
Een ander belangrijk verschil met taal-grammatica's is, dat de gegenereerde
strings een visuele interpretatie hebben. In het Lindenmayer-systeem
dat we bespreken gaat het om strings van een "turtle graphics"
codeertaal. (Het "turtle graphics" idee is populair geworden
door de programmeertaal LOGO. Het basis-idee is dat een tekenmachientje
een uit rechte lijnstukjes bestaande lijn kan genereren op basis
van een code die bestaat uit een sequentie van verplaatsings-afstanden
en verdraaiïngs-hoeken.)
Seymour Papert: Mindstorms. Children, Computers, and Powerful
Ideas. New York: Basic Books, 1980.
Harold Abelson and Andrea diSessa: Turtle Geometry. The
Computer as a Medium for Exploring Mathematics. Cambridge,
Mass.: MIT Press, 1980.
Lindenmayer-systemen kunnen (als we het herschrijfproces oneindig
lang voortgezet denken) allerlei vormen opleveren die fractaal
en self-similar zijn, zoals Koch-eilanden en vlakvullende
curves.
Oneindige recursie.
Ook demo van
Droste-plaatje? Droste-effect op de computer: het plaatje heeft
"echt" oneindig veel detail. Fractals.
Het duizelingwekkende
van een gedachte met een oneindige recursie erin. (Droste-demo:
vallen.) De computer heeft voor zoiets een statische pointer-representatie,
maar de menselijke geest dus niet. (Het proces-matige karakter
van de menselijke mentale representaties.) Cf.: leugenaar-paradox.
Cf. George Brecht: Vicious Circles and Paradoxes. Cf. Wittgenstein:
das Mystische ("die Erfahrung der Welt als begrenztes
Ganze"). Cf. Kant: das mathematische Erhabene.
Meer voorbeelden
van recursieve structuren.
Het diagonaalargument
Cantor bewijst met het diagonaalargument dat de
reële getallen een niet-aftelbare verzameling vormen.
Turing bewijst met het diagonaalargument dat het stop-probleem
("halting problem") voor Turingmachines niet door een
Turingmachine opgelost kan worden.
Gšdel bewijst met het diagonaalargument dat een consistent formeel
systeem dat sterk genoeg is om de rekenkunde te formaliseren uitspraken
bevat die waar zijn maar niet binnen dat systeem bewezen kunnen
worden. (
Onvolledigheids-stelling.)
Gregory Chaitin:
The
Unknowable. Over Turing, Gödel en Randomness.
Resultaten van opdrachten 2001:
Puite
en Roelofs
Kooistra
Overtoom
Opgave: In de "Monadologie"
beschrijft Leibniz organische systemen als "machines"
die (in tegenstelling tot "machines" in de smallere
betekenis des woords) uit oneindig kleine onderdelen bestaan.
Zoek dit op, en bespreek dit idee in relatie met de hedendaagse
notie van fractale structuren. Beschouw daarbij de relatie tussen
het biologische en het fractale, die door de literatuur over de
Lindenmayer-systemen gesuggereerd wordt. [Gottfried Leibniz:
The monadology, 1714.]
Opgave: Lindenmayer-systemen worden
vaak gebruikt om de planten te genereren in "virtuele landschappen"
die in foto-realistische renderings gepresenteerd worden. Het
boek van Prusinkiewicz en Lindenmayer bevat daarvan talrijke voorbeelden.
Bespreek de esthetische en artistieke status van dit soort werk.
Acknowledgements
Some web-links suggested by Jürgen Sturm and
Chuntug Taguba.
Table
of Contents "Algorithmic Art & A.I."